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2018年10月26日 (金)

テイラー定理とテイラー展開

テイラー定理とテイラー展開
そもそもテイラー定理ってなんなの・・・
 
関数f(x)が[a,b]でn次導関数が連続で(a,b)でn回微分可能な時
f(b)=f(a)+f''(a)/1!*(b-a)+f'''(a)/2!*(b-a)^2+・・・・+f(n-1)(a)/(n-1)!/(b-a)^n-1+f(n)(c)/n!(b-a)^n
  を満たすc (a<c<b)が存在する
 
一番わかりやすいテイラー定理だね
 
その証明は・・・
 
F(x) は 左辺から右辺を引いて右件の最終項のf(n)(c)/n!=Rと置いて 
R=f(n)(c)/n!  (a<c<b) であることを示す事
 
それから方法が続くが これを理解することに時間がかかった
今日も業務中の空いた時間と定時以降の1時間を使ってテイラー定義の一番スタンダードな証明を書いた
上に書いた数行を理解するのに2項定理の拡大からロルの定理からコーシーの平均値の定理から ようやく理解出来たと言える
 
a=0 で展開したのがマクローリン展開
 
大学数学の微分の初等なんだって
俺ね
とてもアバウトな性格だと自分では思っていた
だけど会社の身近の人が言うには厳密だと言う
俺はアバウトだと思っているが数学のn-1やn  や  k=0  や k=1 には拘るね
 

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