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2019年1月17日 (木)

解析既論のテイラー展開

31_1_17_1
 
高木貞治先生の解析既論のテイラー展開
F(x)=f(x)-{f(a)+(x-a)f(a)'/1!+・・・+(x-a)^n*f(n-1)(a)/(n-1)!}
F(x)が剰余項の計算が初めて見た
普通は剰余項は右辺の一番最後に置いて代数で微分して証明する
ラグランジュの剰余項が俺には一番なじみ深いし暗記できている
n-1階まで微分して代数aを入れると0になるの証明は計算して分かった
F(n)(x)=f(n)(x)  これが如何しても分からなかった
解析既論には計算するとしか書いてない
ほんで業務中に数時間使って分かった
写真の下の方にn階の微分で右辺の{ }の中が定数の微分で0の計算になる
この続きの紙も有るがコーシーの平均値の定理でG(x)=(x-a)^nとしてf(x)と関係つける
n階まで微分するとa<ξ<x でF(x)が剰余項の一般的な式になることが証明される
それでf(x)をテイラーの定理の式になって証明が終わり
 
難しかった
大学数学の微積分の入り口らしいが俺には難しい
宇沢数学の二項定理の拡張からマクロリーン展開の例まで
ページにすると30ページ程度が半年かかった
二項定理さえ分からなかったから良くぞここまで来たと自分を褒める
 

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